Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\)  có...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Viết phương trình hoành độ giao điểm. Phân tích để tách thành các nhân tử. Từ đó lập luận tìm điều kiện của \(m\)để phương trình có ba nghiệm phân biệt.

+ Tìm tọa độ ba giao điểm \(A,B,C.\)

+ Sử dụng: Nếu B, C nằm cùng phía với đường thẳng \(\left( \Delta  \right):\,ax + by + c = 0\)  thì \(\left( {a{x_B} + b{y_B} + c} \right)\left( {a{x_C} + b{y_C} + c} \right) > 0\)

+ Sử dụng công thức khoảng cách \(d\left( {M;\left( \Delta  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_M} + b{y_M} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) với \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) , từ đó ta tìm được tham số \(m.\) So sánh với điều kiện rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\): \({x^3} - 3{x^2} + 4 = m\left( {x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2} = m\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2} - m\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} - m} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} - m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\{\left( {x - 2} \right)^2} = m\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{\left( { - 1 - 2} \right)^2} \ne m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ne 9\end{array} \right.\)

Khi đó hoành độ các giao điểm là \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\{\left( {x - 2} \right)^2} = m\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \sqrt m  + 2\\x =  - \sqrt m  + 2\end{array} \right.\)

Vì các giao điểm cũng thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) nên ta có tung độ các giao điểm là

\(x =  - 1 \Rightarrow y = m\left( { - 1 + 1} \right) = 0\); \(x = \sqrt m  + 2 \Rightarrow y = m\left( {\sqrt m  + 2 + 1} \right) = m\sqrt m  + 3m\);

\(x =  - \sqrt m  + 2 \Rightarrow y = m\left( { - \sqrt m  + 2 + 1} \right) =  - m\sqrt m  + 3m\)

Nên tọa độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( C \right)\) là \(A\left( { - 1;0} \right);B\left( {\sqrt m  + 2;m\sqrt m  + 3m} \right);C\left( { - \sqrt m  + 2; - m\sqrt m  + 3m} \right)\)

Vì B, C nằm cùng phía với \(\left( \Delta  \right):y = 2x - 7 \Leftrightarrow y - 2x + 7 = 0\) nên

\(\left( {{y_B} - 2{x_B} + 7} \right)\left( {{y_C} - 2{x_C} + 7} \right) > 0 \Leftrightarrow \left( {m\sqrt m  + 3m - 2\sqrt m  + 3} \right)\left( { - m\sqrt m  + 3m + 2\sqrt m  + 3} \right) > 0\)

Hay \(\left( {m\sqrt m  + 3m - 2\sqrt m  + 3} \right);\left( { - m\sqrt m  + 3m + 2\sqrt m  + 3} \right)\) cùng dấu.

Ta có \(d\left( {B;\left( \Delta  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {m\sqrt m  + 3m - 2\sqrt m  + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }};d\left( {C;\left( \Delta  \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - m\sqrt m  + 3m + 2\sqrt m  + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }}\)

\(\begin{array}{l}d(B;\Delta ){\rm{ }} + d(C;\Delta ){\rm{ }} = {\rm{ }}6\sqrt 5 .\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m\sqrt m  + 3m - 2\sqrt m  + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{\left| { - m\sqrt m  + 3m + 2\sqrt m  + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 6\sqrt 5 \end{array}\)

Mà \(\left( {m\sqrt m  + 3m - 2\sqrt m  + 3} \right);\left( { - m\sqrt m  + 3m + 2\sqrt m  + 3} \right)\) cùng dấu, nên

\( \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{m\sqrt m  + 3m - 2\sqrt m  + 3}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{ - m\sqrt m  + 3m + 2\sqrt m  + 3}}{{\sqrt 5 }}} \right| = 6\sqrt 5 \)

\( \Leftrightarrow 2m\sqrt m  + 2m\) \(\left| {6m + 6} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 5\\m + 1 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m =  - 6\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(m = 4\) là giá trị cần tìm.

Chọn D.