Trong không gian tọa độ \(Oxyz,\) cho ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\).

+)  \(\angle AMB = \angle BMC = \angle CMA = {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0\\\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {CM}  = 0\\\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {AM}  = 0\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {a - 2;b;c} \right);\,\,\overrightarrow {BM}  = \left( {a;b - 2;c} \right);\,\,\overrightarrow {CM}  = \left( {a;b;c - 2} \right)\)

\(\begin{array}{l}\angle AMB = \angle BMC = \angle CMA = {90^0}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0\\\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {CM}  = 0\\\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {AM}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 2} \right)a + b\left( {b - 2} \right) + {c^2} = 0\\{a^2} + \left( {b - 2} \right)b + c\left( {c - 2} \right) = 0\\\left( {a - 2} \right)a + {b^2} + \left( {c - 2} \right)c = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 2b = 0\,\,\left( * \right)\\{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2b - 2c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 2c = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2a + 2b = 2b + 2c = 2c + 2a \Leftrightarrow a = b = c\end{array}\)

Thay vào (*) ta có: \(3{a^2} - 4a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {0;0;0} \right)\\M\left( {\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3}} \right)\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy có 2 điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.