Kết quả tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x.\ln \le...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm logarit ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.

- Đồng nhất thức.

Giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = \ln \left( {2 + {x^2}} \right) \hfill \cr   {\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {\rm{d}}u = {{2x} \over {2 + {x^2}}}{\rm{d}}x \hfill \cr   v = {{{x^2}} \over 2} + 1 = {{2 + {x^2}} \over 2} \hfill \cr}  \right.\)

Khi đó 

\(\begin{array}{l}
I = \int\limits_0^1 {x\ln \left( {2 + {x^2}} \right){\rm{d}}x} \\
\,\,\,\, = \left. {\frac{{2 + {x^2}}}{2}.\ln \left( {2 + {x^2}} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_1^2 {x{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} \\
\,\,\,\, = \frac{3}{2}\ln 3 - \ln 2 - \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1\\
\,\,\,\, = \frac{3}{2}\ln 3 - \ln 2 - \frac{1}{2}.
\end{array}\)

Mặt khác I = aln3 + bln2 + c suy ra \(a = {3 \over 2};\,\,b =  - \,1;\,\,c =  - {1 \over 2}.\)

Vậy a + b + c = 0.

Chọn A.