Cho biết \(\int\limits_0^{\sqrt 2 } {x.f\left( {{x...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức vi phân \(du = u'dx\) , áp dụng ta có: \(f\left( {x + 6} \right)dx = f\left( {x + 6} \right)d\left( {x + 6} \right)\) và lưu ý rằng \(f\left( x \right)dx = f\left( u \right)dx = f\left( v \right)dv = ...\)  và đổi cận.

Áp dụng linh hoạt công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^d {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} \) để tính I.

Giải chi tiết:

Ta có

\(\int\limits_0^{\sqrt 2 } {x.f\left( {{x^2}} \right){\rm{d}}x}  = {1 \over 2}.\int\limits_0^{\sqrt 2 } {f\left( {{x^2}} \right){\rm{d}}\left( {{x^2}} \right)}  \)

\(= {1 \over 2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 8.\)

Lại có:

\(\int\limits_9^{16} {{{f\left( {\sqrt t } \right)} \over {\sqrt t }}{\rm{d}}t}  = 2.\int\limits_9^{16} {f\left( {\sqrt t } \right){\rm{d}}\left( {\sqrt t } \right)}  = 2.\int\limits_3^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x}\)

\(  \Rightarrow \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx}  = {3 \over 2}\)

Và \(\int\limits_2^3 {f\left( z \right){\rm{d}}z}  = \int\limits_2^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2\) suy ra \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_2^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_3^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = {{23} \over 2}.\)

Chọn B.