Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng \(\lef...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Số giao điểm của (d) và (C) là số nghiệm phân biệt của phương trình hoành độ giao điểm.

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng khi biết tọa độ 2 đầu mút \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2},{y_2}} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} \)

Áp dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) : \(\left\{ \matrix{  {x_1} + {x_2} = {{ - b} \over a} \hfill \cr   {x_1}{x_2} = {c \over a} \hfill \cr}  \right.\), với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình bậc hai.

Giải chi tiết:

Ta có: Phương trình hoành độ giao điểm là: \(\eqalign{  &  - x + m = {{x - 1} \over {2{\rm{x}}}} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x \ne 0 \hfill \cr   2{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}}m + x - 1 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x \ne 0 \hfill \cr   g\left( x \right) = 2{{\rm{x}}^2} + x(1 - 2m) - 1 = 0 \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Rightarrow \left\{ \matrix{  g\left( 0 \right) \ne 0\,\,\left( {ld} \right) \hfill \cr   \Delta  = {(1 - 2m)^2} + 8 > 0\,\,\forall m. \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Khi đó tọa độ hai giao điểm là \(A\left( {{x_1}; - {x_1} + m} \right),\,\,B\left( {{x_2}, - {x_2} + m} \right)\)  với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của g(x).

\(AB = \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{( - {x_1} + m + {x_2} - m)}^2}}  = \sqrt 2 \sqrt {{{({x_1} + {x_2})}^2} - 4{{\rm{x}}_1}{x_2}}  = \sqrt 2 \sqrt {{{4{m^2} - 4m + 1} \over 4} + 2}  \ge 2\,\,\,\left( {m = {1 \over 2}} \right)\)

Chọn A.