Cho một đa giác \(\left( H \right)\) có \(60\)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng các phương pháp đếm để tìm biến cố và không gian mẫu

Giải chi tiết:

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right)=C_{60}^{4}\).

Gọi \(E\) là biến cố “lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của \(\left( H \right)\)”.

Để chọn ra một tứ giác thỏa mãn đề bài ta làm như sau:

Bước 1: Chọn đỉnh đầu tiên của tứ giác, có \(60\) cách.

Bước 2:

Cách 1: Chọn \(3\) đỉnh còn lại sao cho hai đỉnh bất kỳ của tứ giác cách nhau ít nhất 1 đỉnh. Điều này tương đương với việc ta phải chia \(m=60\) chiếc kẹo cho \(n=4\) đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ có ít nhất \(k=2\) cái, có \(C_{m-n\left( k-1 \right)-1}^{n-1}=C_{55}^{3}\) cách, nhưng làm như thế mỗi tứ giác lặp lại 4 lần.

Cách 2: Đánh số các đỉnh \({{A}_{1}};{{A}_{2}};...{{A}_{60}}\) . Ký hiệu tứ giác cần lập là \(ABCD\).

Nếu \(A\equiv {{A}_{1}}\) thì các điểm \(A,B,C,D\) cách nhau ít nhất 1 điểm.

Gọi \({{x}_{1}}\) là số điểm ở giữa \(A\)  và \(B\) \(\left( {{x}_{1}}\ge 1 \right)\)

\({{x}_{2}}\) là số điểm ở giữa \(B\)  và \(C\) \(\left( {{x}_{2}}\ge 1 \right)\)

\({{x}_{3}}\) là số điểm ở giữa \(C\)  và \(D\) \(\left( {{x}_{3}}\ge 1 \right)\)

\({{x}_{4}}\) là số điểm ở giữa \(D\)  và \(A\) \(\left( {{x}_{4}}\ge 1 \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=56\text{    }\left( 1 \right) \\& {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}\ge 1 \\\end{align} \right.\) . Số nghiệm dương của phương trình (1) là số cách chọn \(B,C,D\). Khi đó có \(C_{55}^{3}\)  cách, nhưng mỗi tứ giác được lặp lại \(4\) lần tại một đỉnh.

Suy ra, số phần tử của biến cố \(E\) là \(n\left( E \right)=\frac{60.C_{55}^{3}}{4}\).

Xác suất của biến cố \(E\) là \(P\left( E \right)=\frac{n\left( E \right)}{n\left( \Omega  \right)}=\frac{60.C_{55}^{3}}{4.C_{60}^{4}}\approx 80,7%\).

Chọn D