Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) bán kính \(R=5\,\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựng hình, xác định vị trí điểm để thể tích lớn nhất 

Giải chi tiết:

Gọi \(E\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\)\(\Rightarrow \)

Bán kính của \(\left( C \right)\) là \(r=\frac{C}{2\pi }=4\)

Mà \(\left( C \right)\) là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \,ABC\)\(\Rightarrow \,\,AB=\frac{3r}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\Rightarrow \,\,{{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}.\)

Để \({{V}_{ABCD}}\) lớn nhất \(\Leftrightarrow \) \(E\) là hình chiếu của \(D\) trên \(mp\,\,\left( ABCD \right),\) tức là \(IE\cap \left( S \right)=D.\)

Với \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\)\(\Rightarrow \,\,DE=R+IE=R+\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=5+\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=8.\)

Vậy thể tích cần tính là \({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.DE.{{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{8}{3}.12\sqrt{3}=32\sqrt{3}\,\,c{{m}^{3}}.\)

Chọn A