Tứ diện \(OABC\). \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

+ Trong \(\left( {OBC} \right)\) kẻ đường thẳng song song với \(OM\) căt \(OC\) tại \(E\).

Ta có: \(OM\parallel BE \Rightarrow OM\parallel \left( {ABE} \right) \supset AB \Rightarrow d\left( {OM;AB} \right) = d\left( {OM;\left( {ABE} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {ABE} \right)} \right)\).

+ Trong \(\left( {OBC} \right)\) kẻ \(OH \bot BE\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot BE\\OA \bot BE\,\,\left( {OA \bot \left( {OBC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BE \bot \left( {OAH} \right)\).

+ Trong \(\left( {OAH} \right)\) kẻ \(OK \bot AH\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot AH\\OK \bot BE\,\,\left( {BE \bot \left( {OAH} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {ABE} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {O;\left( {ABE} \right)} \right) = OK\).

+ Xét tam giac \(BCE\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}OM\parallel BE\\MB = MC\end{array} \right. \Rightarrow OC = OE = a\sqrt 3 \).

Ta có \(OB \bot OC \Rightarrow OB \bot CE \Rightarrow OB \bot OE\).

+ Xét tam giác vuông \(OBE\) có:

\(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{3{a^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

+ Xét tam giác vuông \(OAH\) có:

\(\dfrac{1}{{O{K^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{3{a^2}}} + \dfrac{4}{{3{a^2}}} = \dfrac{5}{{3{a^2}}} \Rightarrow OK = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy \(d\left( {OM;AB} \right) = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

Chọn B.