Cho \(F\left( x \right)=\frac{a}{x}\left( \ln x+b...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tách \(F\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{1+\ln x}{{{x}^{2}}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}+\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{\ln xdx}{{{x}^{2}}}}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}\)

Sử dụng phương pháp từng phần tính \({{I}_{2}}\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{}^{} {\frac{{1 + \ln x}}{{{x^2}}}dx}  = \int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{{x^2}}}}  + \int\limits_{}^{} {\frac{{\ln xdx}}{{{x^2}}}}  = {I_1} + {I_2}\\{I_1} = \int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{{x^2}}}}  =  - \frac{1}{x} + {C_1}\\{I_2} = \int\limits_{}^{} {\frac{{\ln xdx}}{{{x^2}}}}  = \int\limits_{}^{} {\ln xd\left( {\frac{{ - 1}}{x}} \right)dx}  =  - \frac{1}{x}\ln x + \int\limits_{}^{} {\frac{1}{{{x^2}}}dx}  =  - \frac{1}{x}\ln x - \frac{1}{x} + {C_2}\\ \Rightarrow F\left( x \right) =  - \frac{1}{x} - \frac{1}{x}\ln x - \frac{1}{x} + C =  - \frac{2}{x} - \frac{1}{x}\ln x + C = \frac{{ - 1}}{x}\left( {\ln x + 2} \right) + C = \frac{a}{x}\left( {\ln x + b} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 2\\C = 0\end{array} \right. \Rightarrow S = a + b =  - 1 + 2 = 1\end{array}\)

Chọn D.