Giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=\left( 3-x \rig...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Nhận xét đề bài: Ta thấy biểu thức \(B\) là tích của \(3\) số nên ta nghic tới dùng bất đẳng thức Cô-si từ trung bình nhân sang trung bình cộng: \(abc\le {{\left( \frac{a+b+c}{3} \right)}^{3}}\)

Tuy nhiên ta cần kéo léo biến đổi để làm triệt tiêu các thành phần \(x,y\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Viết lại

\(B=\left( 3-x \right)\left( 4-y \right)\left( 2x+3y \right)=\frac{1}{6}.\left( 2\left( 3-x \right) \right)\left( 3\left( 4-y \right) \right)\left( 2x+3y \right)=\frac{1}{6}\left( 6-2x \right)\left( 12-3y \right)\left( 2x+3y \right).\)

Theo giả thiết ta có:

\(3-x\ge 0,\,4-y\ge 0,2x+3y\ge 0\Rightarrow 6-2x\ge 0,\,12-3y\ge 0,2x+3y\ge 0.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(6-2x,\,12-3y,2x+3y\) ta có

\(B=\frac{1}{6}\left( 6-2x \right)\left( 12-2y \right)\left( 2x+3y \right)\le \frac{1}{6}{{\left( \frac{\left( 6-2x \right)+\left( 12-3y \right)+\left( 2x+3y \right)}{3} \right)}^{3}}=\frac{1}{6}.{{\left( \frac{18}{3} \right)}^{3}}=36.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}6 - 2x = 12 - 3y = 2x + 3y\\0 \le x \le 3\\0 \le y \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 2x + 6\\6 = 4x + 3y\\0 \le x \le 3\\0 \le y \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 2x + 6\\6 = 4x + \left( {2x + 6} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right.\\0 \le x \le 3\\0 \le y \le 4\end{array} \right..\)

Chọn đáp án B.