Một phú ông nọ muốn kén chồng cho con gái mình nên...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)  Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) tại A, cắt CD ở M.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:

MA = MC và MA = MD  \( \Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}DC\)

Tam giác ACD có đường trung tuyến AM ứng với cạnh CD bằng nửa cạnh CD nên tam giác ACD là tam giác vuông tại A.

Suy ra, góc CAD = 90⁰

b) Cách 1:         

MO là tia phân giác góc AMC ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \)góc  M₁ = góc M₂

MO’ là tia phân giác góc AMD ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \)góc  M₃ = góc M₄

Mà:  \({\widehat M_1} + {\widehat M_2} + {\widehat M_3} + {\widehat M_4} = {180^0} \Leftrightarrow 2{\widehat M_2} + 2{\widehat M_3} = {180^0} \Leftrightarrow {\widehat M_2} + {\widehat M_3} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta OMO'\) vuông tại M

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta OMC = \Delta OMA\left( {MC = MA,{\rm{ }}OM{\rm{ }}chung,{\rm{ }}{{\widehat M}_1} = {{\widehat M}_2}} \right)\\ \Rightarrow \widehat {OCM} = \widehat {OAM} = {90^0} \Rightarrow MA \bot OO'\end{array}\)

Tam giác OMO’ vuông tại M, MA là đường cao, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ta có: \(M{A^2} = OA.O'A = 4,5.2 = 9 \Rightarrow MA = 3cm\)

Độ dài đoạn CD:    \(CD = 2AM = 2.3 = 6cm\)

Cách 2:

Độ dài đoạn \(OO’ = OA +O’A = 4,5,+2 = 6,5 cm;O'A = O'D = 2cm,OA = OC = 4,5cm\)

Vẽ \(O'H \bot OC\) tại H

\( \Rightarrow \) Tứ giác CDO’H là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

\( \Rightarrow CH = O'D = 2cm;CD = O'H\)

\(OH = OC – CH = 4,5 – 2 = 2,5cm\)

Xét tam giác vuông OO’H, áp dụng định lý pytago ta có:

\(O'H = \sqrt {OO{'^2} - O{H^2}}  = \sqrt {6,{5^2} - 2,{5^2}}  = \sqrt {36}  = 6cm\)

CD = O’H = 6cm

Vậy: Độ dài của đoạn CD bằng 6 cm