Cho \(a,b,c>1\). Biết rằng biểu thức \(P={{\log...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \({{\log }_{a}}c=x,\,\,{{\log }_{b}}c=y,\,\,{{\log }_{a}}b=z\,\,\,(x,\,y,\,\,z>0\,\,do\,\,a,\,b,\,c>1)\,\,\,\Rightarrow x=yz\) để tìm GTNN của \(P\Rightarrow m+n\)

Giải chi tiết:

Đặt \({{\log }_{a}}c=x,\,\,{{\log }_{b}}c=y,\,\,{{\log }_{a}}b=z\,\,\,(x,\,y,\,\,z>0\,\,do\,\,a,\,b,\,c>1)\,\,\,\Rightarrow x=yz\)

\(\begin{array}{l}P = {\log _a}(bc) + {\log _b}(ac) + 4{\log _c}(ab)\\ = {\log _a}b + {\log _a}c + \frac{1}{{{{\log }_a}b}} + {\log _b}c + 4.\left( {\frac{1}{{{{\log }_a}c}} + \frac{1}{{{{\log }_b}c}}} \right)\\ = z + x + \frac{1}{z} + y + \frac{4}{x} + \frac{4}{y}\\ = \left( {z + \frac{1}{z}} \right) + \left( {x + \frac{4}{x}} \right) + \left( {y + \frac{4}{y}} \right)\mathop  \ge \limits^{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} i} 2 + 4 + 4 = 10\end{array}\)

\({P_{\min }} = 10 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 1\\x = 2\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow {\log _b}c = y = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 10\\n = 2\end{array} \right. \Rightarrow m + n = 12\)

Chọn: A.