Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác đinh mặt phẳng (P) chứa BD và song song với SC, đưa về bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng : \(d\left( SC;BD \right)=d\left( SC;\left( P \right) \right)=d\left( C;\left( P \right) \right)\)

+) Sử dụng tính chất \(CA\cap \left( P \right)=M\Rightarrow \frac{d\left( C;\left( P \right) \right)}{d\left( A;\left( P \right) \right)}=\frac{CM}{AM}\) , trong đó tỉ số \(\frac{CM}{AM}\) đã biết, đưa về bài toán tính khoảng cách từ chân đường cao A đến (P)

Giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của SA và O là tâm hình vuông ABCD.

Ta có : OE // SC \(\Rightarrow SC//\left( EBD \right)\) \(\Rightarrow d\left( SC;BD \right)=d\left( SC;\left( EBD \right) \right)=d\left( C;\left( EBD \right) \right)\)

Ta có : \(CA\cap \left( EBD \right)=O\Rightarrow \frac{d\left( C;\left( EBD \right) \right)}{d\left( A;\left( EBD \right) \right)}=\frac{CO}{AO}=1\Rightarrow d\left( C;\left( EBD \right) \right)=d\left( A;\left( EBD \right) \right)\)

Trong (SAC) kẻ \(AH\bot OE\,\,\,\left( 1 \right)\)

ta có : \(\left\{ \begin{align} & BD\bot AC \\ & BD\bot SA \\ \end{align} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot AH\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AH\bot \left( EBD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( EBD \right) \right)=AH\)

ABCD là hình vuông cạnh a \(\Rightarrow AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\), \(AE=\frac{1}{2}SA=\frac{a}{2}\)

Ta có : \(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{E}^{2}}}+\frac{1}{A{{O}^{2}}}=\frac{4}{{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{2}}}=\frac{6}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{6}=d\left( SC;BD \right)\)

Chọn D.