Số các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm tập xác định của các hàm cho trong phương trình.

Đưa phương trình về phương trình bậc \(2\) theo \(x.\) Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai theo \(x\) cần có hai nghiệm phân biệt và thuộc tập xác định. Biện luận theo \(m\) để tìm ra kết quả.

Giải chi tiết:

Điều kiện \(\left\{ \begin{align} & x>1 \\ & mx>8 \\ \end{align} \right.\Rightarrow x>\max \left\{ 1;\frac{8}{m} \right\}\,\,\left( m\ne 0 \right).\)

Ta có

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,{{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right) \\ & \Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right) \\ & \Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=mx-8\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+9=0\,\,\left( 1 \right). \\ \end{align}\)

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình 

\(\begin{array}{l}
\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4.9 = {m^2} + 4m - 32 > 0\\
\Leftrightarrow \left( {m - 4} \right)\left( {m + 8} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 4\\
m < - 8
\end{array} \right.
\end{array}\)

Nếu \(m<0\) thì với \(x>1\) ta có \(mx-8<0\) do đó \({{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\) không xác định.

Vậy điều kiện để \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt trước hết là \(m>4.\)

Khi đó hai nghiệm là \({{x}_{1}}=\frac{\left( m+2 \right)-\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}}{2},{{x}_{2}}=\frac{\left( m+2 \right)+\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}}{2}.\)

Ta có \({{x}_{2}}>{{x}_{1}}.\)

Để \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta cần \({{x}_{1}}>m\text{ax}\left\{ 1;\frac{8}{m} \right\}.\)

Nếu \(m=8,\) thì phương trình ban đầu trở thành \({{\log }_{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{2}}\left( 8x-8 \right)\Rightarrow \left( x-1 \right)\left( x-9 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=9 \\ \end{align} \right..\)

Nhưng \(x=1\) không phải là nghiệm nên phương trình đã cho chỉ có một nghiệm. Do đó \(m=8\) không phải là giá trị cần tìm.

Với \(m<8.\) Khi đó ta cần tìm \(m\) sao cho \({{x}_{1}}>\frac{8}{m}\Leftrightarrow \frac{\left( m+2 \right)-\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}}{2}>\frac{8}{m}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-16>m\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}.\)

Do \(m>4,m\in \mathbb{Z}\) nên \({{m}^{2}}+2m-16>0.\)

Bình phương hai vế bất đẳng thức trên ta được \(\begin{align}& \,\,\,\,\,\,{{\left( {{m}^{2}}+2m-16 \right)}^{2}}>{{m}^{2}}\left( {{m}^{2}}+4m-32 \right)\Leftrightarrow {{m}^{4}}+4{{m}^{2}}+{{16}^{2}}+4{{m}^{3}}-32{{m}^{2}}-64m>{{m}^{4}}+4{{m}^{3}}-32{{m}^{2}} \\& \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-64m+{{16}^{2}}>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-16m+{{8}^{2}}>0\Leftrightarrow {{\left( m-8 \right)}^{2}}>0. \\\end{align}\)

Bất đẳng thức cuối đúng do \(m\ne 8.\) Vậy \(4<m<8\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó \(m=5,6,7.\)

Với \(m>8\) ta cần tìm \(m\) sao cho \({{x}_{1}}>1\Leftrightarrow \frac{\left( m+2 \right)-\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}}{2}>1\Leftrightarrow m-\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}>0\Leftrightarrow m>\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}\Leftrightarrow 8>m.\)                                               

Bất phương trình này vô nghiệm. Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn \(m>8\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. \(\)

Vậy có \(3\) giá trị cần tìm của \(m.\)                              \(\)

Chọn đáp án A.