Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi \({\cos ^5}x = {\cos ^4}x.\cos x = {\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)^2}\cos x\)

Đặt \(t = \sin x\)

Giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^5}xdx}  = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^4}x\cos xdx}  = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}^2}\cos xdx} \)

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr   x = {\pi  \over 2} \Rightarrow t = 1 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2}dt}  = \int\limits_0^1 {\left( {{t^4} - 2{t^2} + 1} \right)dt}  = \left. {\left( {{{{t^5}} \over 5} - {{2{t^3}} \over 3} + t} \right)} \right|_0^1 = {8 \over {15}}\)

Chọn C.