1. Giải hệ phương trình và phương...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

b) Giải phương trình trùng phương bằng phương pháp đặt \({{x}^{2}}=t\,\,\left( t\ge 0 \right)\).

2. Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|\) và trục căn thức ở mẫu.

3. a) Chứng minh \(\Delta \ge 0\,\,\forall m\).

b) Sử dụng định lí Vi-et: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.\)

Giải chi tiết:

1.  a) 

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x - y = 5\\
x + y = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x = 9\\
y = 4 - x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 1
\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( x;y \right)=\left( 3;1 \right)\).

b) \(16{{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+1=0\)

Đặt \(t={{x}^{2}}\,\,\left( t\ge 0 \right),\) khi đó phương trình trở thành \(16{{t}^{2}}-8t+1=0\Leftrightarrow {{\left( 4t-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow 4t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\,\,\left( tm \right)\)

\(t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{2}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S=\left\{ \pm \frac{1}{2} \right\}\).

\(\begin{align}  & 2)\ \ A=\frac{\sqrt{{{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{2}}}}{4}+\frac{1}{\sqrt{5}-1}=\frac{\left| \sqrt{5}-1 \right|}{4}+\frac{\left( \sqrt{5}+1 \right)}{\left( \sqrt{5}-1 \right)\left( \sqrt{5}+1 \right)} \\  & \ \ \ =\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{\sqrt{5}+1}{{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}-{{1}^{2}}}\,\,\left( Do\,\,\sqrt{5}-1>0 \right) \\  & \ \ \ =\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{5}+1}{4} \\  & \ \ \ =\frac{2\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}. \\ \end{align}\)

3.  a) Ta có: \(\Delta ={{m}^{2}}-4\left( m-1 \right)={{m}^{2}}-4m+4={{\left( m-2 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall m\Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) với mọi m.

b) Khi đó theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1 \\ \end{align} \right.\)

\(\begin{align}  & B=\frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2\left( 1+{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}=\frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+2} \\  & \ \ \ =\frac{2\left( m-1 \right)+3}{{{m}^{2}}+2}=\frac{2m+1}{{{m}^{2}}+2}. \\  & \Rightarrow B=1\Leftrightarrow \frac{2m+1}{{{m}^{2}}+2}=1 \\  & \Leftrightarrow 2m+1={{m}^{2}}+2\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+1=0 \\  & \Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow m=1. \\ \end{align}\)

Vậy \(B=1\Leftrightarrow m=1\)

Chọn B.