1)      Giải phương trình \(\left( {{x}^{2}}-x+1 \...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1)      Đặt \(y={{x}^{2}}+1\,\,\,\left( y>0 \right)\) khi đó phương trình trở thành

2)      \(\begin{array}{l}\left( {y - x} \right)\left( {y + 4x} \right) = 6{x^2}\\ \Leftrightarrow {y^2} + 3xy - 4{x^2} = 6{x^2}\\ \Leftrightarrow {y^2} + 3xy - 10{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2x\\y =  - 5x\end{array} \right.\end{array}\)

Với y = 2x thì \(2x={{x}^{2}}+1\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=2\)

Với y = - 5x thì \( - 5x = {x^2} + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 5 + \sqrt {21} }}{2} \Rightarrow y = \frac{{25 - 5\sqrt {21} }}{2}\left( {tm} \right)\\x = \frac{{ - 5 - \sqrt {21} }}{2} \Rightarrow y = \frac{{25 + 5\sqrt {21} }}{2}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;\frac{{ - 5 + \sqrt {21} }}{2};\frac{{ - 5 - \sqrt {21} }}{2}} \right\}\)

3)      Với x, y, z, t > 0, theo bất đẳng thức Cô si ta có:

4)      \(x + y \ge 2\sqrt {xy} ,\left( {x + y} \right) + z \ge 2\sqrt {\left( {x + y} \right)z} ,\left( {x + y + z} \right) + t \ge 2\sqrt {\left( {x + y + z} \right)t} \)

Khi đó \(\left( x+y \right)\left( x+y+z \right)\left( x+y+z+t \right)\ge 8\sqrt{xyzt\left( x+y \right)\left( x+y+z \right)}\)

Mà \(x+y+z+t=2\) nên

\(\begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {x + y + z} \right) \ge 4\sqrt {xyzt\left( {x + y} \right)\left( {x + y + z} \right)} \\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + y + z} \right)}  \ge 4\sqrt {xyzt} \\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x + y + z} \right) \ge 16xyzt\end{array}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\left( x+y+z \right)\left( x+y \right)}{xyzt}\ge 16\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = z\\x + y + z = t\\x + y + z + t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = \frac{1}{4}\\z = \frac{1}{2}\\t = 1\end{array} \right.\)

Vậy \({{A}_{\min }}=16\)