Cho hình vuông ABCD, gọi E và F...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Từ dữ kiện đề bài cho, áp dụng định lý 2 tam giác bằng nhau và 2 tam giác đồng dạng để tìm ra các dữ kiện cần thiết thực hiện yêu cầu của đề bài.

Giải chi tiết:

Xét \(\Delta DCF\) và \(\Delta CBE\) có:

       DC = BC (gt)

       \(\widehat{C}=\widehat{B}={{90}^{0}}\)

       BE = CF

\(\Rightarrow \Delta DCF=\Delta CBE\ (c-g-c)\)

\(\Rightarrow \widehat{CDF}=\widehat{BCE}\)

Mà \(\widehat{BCE}+\widehat{ECD}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{CDF}+\widehat{ECD}=\widehat{CDM}+\widehat{MCD}={{90}^{0}}\)

\(\Rightarrow \Delta CMD\) vuông ở M.

Xét \(\Delta CMD\) và \(\Delta FCD\) ta có:

        \(\widehat{CMD}=\widehat{FCD}={{90}^{0}}\)

         \(\widehat{CDM}\) chung

\(\Rightarrow \Delta CMD\backsim \Delta FCD\ (g-g)\)

\(\Rightarrow \frac{CD}{FD}=\frac{CM}{FC}\)

\(\Rightarrow \frac{{{S}_{\Delta CMD}}}{{{S}_{\Delta FCD}}}=\frac{C{{D}^{2}}}{F{{D}^{2}}}\Rightarrow {{S}_{\Delta CMD}}=\frac{C{{D}^{2}}}{F{{D}^{2}}}.{{S}_{\Delta FCD}}\)

Mà \({{S}_{\Delta FCD}}=\frac{1}{2}CF.CD=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}BC.CD=\frac{1}{4}C{{D}^{2}}\)

Vậy \({{S}_{\Delta CMD}}=\frac{C{{D}^{2}}}{F{{D}^{2}}}.\frac{1}{4}C{{D}^{2}}=\frac{1}{4}\frac{C{{D}^{4}}}{F{{D}^{2}}}\ (*)\)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông DFC, ta có:

\(D{{F}^{2}}=C{{D}^{2}}+C{{F}^{2}}=C{{D}^{2}}+{{(\frac{1}{2}BC)}^{2}}=C{{D}^{2}}+\frac{1}{4}C{{D}^{2}}=\frac{5}{4}C{{D}^{2}}\)

Thay \(D{{F}^{2}}=\frac{5}{4}C{{D}^{2}}\) vào (*) ta có: \({{S}_{\Delta CMD}}=\frac{1}{4}\frac{C{{D}^{4}}}{\frac{5}{4}C{{D}^{2}}}=\frac{1}{5}C{{D}^{2}}=\frac{1}{5}{{S}_{ABCD}}\)

Vậy \(\frac{{{S}_{\Delta CMD}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{5}\).