Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB,\) tam giác \(SAB\) đều \( \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\SI \bot AB\end{array} \right.\)

Mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)\(\Rightarrow \) \(SI \bot \left( {ABC} \right)\); \(\left\{ \begin{array}{l}SI \bot AC\\AB \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SAB} \right).\)

Kẻ \(BK\) vuông góc với \(SA\) tại \(K,\) ta có \(BK=\frac{a\sqrt{3}}{2},\,\,\,BK\bot \left( SAC \right).\)

Do đó, góc giữa \(BC\) và \(mp\,\,\left( SAC \right)\) là \(\widehat{BCK}\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{BCK}={{30}^{0}}.\)

Khi đó \(BC=\frac{BK}{\sin \widehat{BCK}}=a\sqrt{3}\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}.\)

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \({{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.\)

Chọn A