Cho n là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^{n\, - \,3...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm \(n\) bằng các công thức \({P_n} = n!;\,\,A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\) và \(C_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!.k!}}.\)Sử dụng công thức tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{a^{n\, - \,k}}.{b^k}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Tìm hệ số của số hạng cần tìm.

Giải chi tiết:

Phương trình \(C_n^{n\, - \,3} - C_{n\, - \,1}^2 = C_{n\, - \,1}^1.C_{n\, + 3}^{n\, + \,2} \Leftrightarrow {{n!} \over {\left( {n - 3} \right)!.3!}} - {{\left( {n - 1} \right)!} \over {\left( {n - 3} \right)!.2!}} = \left( {n - 1} \right).{{\left( {n + 3} \right)!} \over {\left( {n + 2} \right)!}}.\)

\( \Leftrightarrow {{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)} \over 6} - {{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)} \over 2} = \left( {n - 1} \right)\left( {n + 3} \right) \Leftrightarrow {{{n^2} - 2n} \over 6} - {{n - 2} \over 2} = n + 3.\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 3\left( {n - 2} \right) = 6\left( {n + 3} \right) \Leftrightarrow {n^2} - 11n - 12 = 0 \Leftrightarrow n = 12\) (vì điều kiện \(n \ge 3\)).

Với \(n = 12 \Rightarrow {\left( {{x^{n\, - \,8}} - {n \over {3x}}} \right)^n} = {\left( {{x^4} - {4 \over x}} \right)^{12}},\) theo khai triển nhị thức Newton, ta có

\({\left( {{x^4} - {4 \over x}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} .{\left( {{x^4}} \right)^{12\, - \,k}}.{\left( { - {4 \over x}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} .{\left( { - \,4} \right)^k}.{{{x^{48\, - \,4k}}} \over {{x^k}}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} .{\left( { - \,4} \right)^k}.{x^{48\, - \,5k}}.\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) ứng với \(48 - 5k = 8 \Leftrightarrow k = 8\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Hệ số cần tìm là \(C_{12}^8{.4^8}.\)

Chọn B