Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

Giải chi tiết:

Gọi \(E=HK\cap AC.\) Do \(HK\parallel BD\) nên suy ra

\(d\left( HK;SD \right)=d\left( HK;\left( SBD \right) \right)=d\left( E;\left( SBD \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( A;\left( SBD \right) \right).\)

Kẻ \(AF\bot SO\,\,\left( 1 \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AF\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AF\bot \left( SBD \right)\), khi đó

\(d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AF=\frac{SA.AO}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{O}^{2}}}}=\frac{2a.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{4{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}}}=\frac{2a}{3}.\)

Vậy khoảng cách \(d\left( HK;SD \right)=\frac{1}{2}AF=\frac{a}{3}.\)

Chọn A.