Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các phương pháp xác định góc – khoảng cách trong không gian

Giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của AD suy ra \(MN\parallel AC\).

Ta có \(MN=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2},\,\,BM=\frac{a\sqrt{6}}{2}\) và \(BN=\frac{3a}{2}\) suy ra \(M{{N}^{2}}+B{{M}^{2}}=B{{N}^{2}}\Rightarrow \Delta BMN\) vuông tại M.

Do đó \(BM\bot MN\Rightarrow BM\bot AC\Rightarrow BM\bot \left( SAC \right)\).

Gọi I là giao điểm của AC và BM. Từ I kẻ \(IK\bot SC\).

Nên IK là đoạn vuông góc chung SC, \(BM\Rightarrow d\left( SC;BM \right)=IK\).

Có \(\Delta SAC\backsim \Delta IKC\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{IK}{IC}=\frac{SA}{SC}\Rightarrow IK=IC.\frac{SA}{SC}\).

Ta có : \(\frac{IC}{IA}=\frac{MC}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow IC=\frac{1}{3}AC=\frac{a\sqrt{3}}{3},SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a\)

\(\Rightarrow IK=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

Vậy \(d\left( SC;BM \right)=\frac{a\sqrt{3}}{6}\).

Chọn B.