Có bao nhiêu số phức  thỏa mãn điều kiện: \({{z}^{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm \(a,b\Rightarrow z\).

Lưu ý: phương pháp đồng nhất hệ số \(a+bi=a'+b'i\Leftrightarrow a=a';b=b'\).

Giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:

\({{z}^{2}}+3\overline{z}-2z.\overline{z}=0\)

\(\Rightarrow {{\left( a+bi \right)}^{2}}+3(a-bi)-2(a+bi)(a-bi)=0\)

\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2abi-{{b}^{2}}+3a-3bi-2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})=0\)

\(\Leftrightarrow -{{a}^{2}}-3{{b}^{2}}+3a+(2ab-3b)i=0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {a^2} - 3{b^2} + 3a = 0(1)\\2ab - 3b = 0(2)\end{array} \right.\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow b\left( {2a - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = 0\\
a = \frac{3}{2}
\end{array} \right..\)

+) Thay \(b=0\) vào   ta được:

\( - {a^2} + 3a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0 \Rightarrow z = 0\\
a = 3 \Rightarrow z = 3
\end{array} \right..\)

+) Thay \(a=\frac{3}{2}\) vào   ta được:

\( - \frac{9}{4} - 3{b^2} + \frac{9}{2} = 0\Leftrightarrow 3{b^2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow {b^2} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow b = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Rightarrow z=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i;z=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)

Vậy có 4   số phức thỏa mãn đề bài

Chọn C