Cho \(\Delta ABC\)

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất tam giác cân, tính chất 3 đường trung trực của tam giác.

Giải chi tiết:

a) Vì O là giao điểm các đường trung trực của tam giác cân ABC nên AO là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (tính chất tam giác cân)

\(\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\) (tính chất phân giác)

Mặt khác, O là giao điểm các đường trung trực của tam giác cân ABC nên suy ra OA = OC (tính chất 3 đường trung trực của tam giác) \(\Rightarrow \Delta AOC\) cân tại O (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\(\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\) (tính chất tam giác cân)

Do đó \(\Rightarrow \widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\) . Vậy \(\widehat{OAB}=\widehat{OCA.}\)

b) \(\left\{ \begin{align}  & \widehat{OAB}+\widehat{OAM}={{180}^{0}} \\  & \widehat{OCA}+\widehat{OCN}={{180}^{0}} \\ \end{align} \right.\) (kề bù)

Mà \(\widehat{OAB}=\widehat{OCA}\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{OAM}=\widehat{OCN}\) .

Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta CON\) có:

\(\left\{ \begin{align}  & AM=CN\left( gt \right) \\  & \widehat{OAM}=\widehat{OCN}\left( cmt \right) \\  & AO=OC\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta AOM=\Delta CON\left( c-g-c \right)\Rightarrow OM=ON\) (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow \Delta MON\) cân tại O. Mà I là giao điểm các đường trung trực của OM và ON nên OI là đường trung trực của MN (tính chất 3 đường trung trực của tam giác).

Vậy OI là phân giác của \(\widehat{MON}\)  (tính chất tam giác cân)