Cho một cấp số nhân có n số hạng, số hạng đầu tiên...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định công bội của cấp số nhân mới theo r.

+) Sử dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

+) Biểu diễn tổng mới s’ theo s và r.

Giải chi tiết:

Gọi cấp số nhân ban đầu là \({u_1} = 1,{u_2},{u_3},...,{u_n}\)

Cấp số nhân mới tạo thành bằng cách thay mỗi số hạng của cấp số nhân ban đầu bằng số nghịch đảo của nó là \(\frac{1}{{{u_1}}} = 1,\frac{1}{{{u_2}}},\frac{1}{{{u_3}}},...,\frac{1}{{{u_n}}}\)

Ta có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = r \Rightarrow \frac{{\frac{1}{{{u_2}}}}}{{\frac{1}{{{u_1}}}}} = \frac{{{u_1}}}{{{u_2}}} = \frac{1}{r} \Rightarrow \) Cấp số nhân mới có công bội \(\frac{1}{r}\)

Tổng của cấp số nhân ban đầu là \(s = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {r^n}}}{{1 - r}}\)

Khi đó tổng của các số hạng của cấp số nhân mới tạo thành là \(s' = \frac{{{u_1}\left( {1 - q{'^n}} \right)}}{{1 - q'}} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{r}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{r}}} = \frac{{\frac{{{r^n} - 1}}{{{r^n}}}}}{{\frac{{r - 1}}{r}}} = \frac{{{r^n} - 1}}{{\left( {r - 1} \right){r^{n - 1}}}} = \frac{{1 - {r^n}}}{{\left( {1 - r} \right){r^{n - 1}}}} = \frac{s}{{{r^{n - 1}}}}\)

Chọn C.