Tích các nghiệm của phương trình \({\left( {3 + \s...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chia cả 2 vế cho \({2^x}\) và có nhận xét: \(\left( {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)\left( {{{3 - \sqrt 5 } \over 2}} \right) = {{{3^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \over 4} = 1 \Rightarrow {\left( {{{3 - \sqrt 5 } \over 2}} \right)^x} = {1 \over {{{\left( {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)}^x}}}\)

Đặt ẩn phụ \({\left( {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right)\)

Giải chi tiết:

\({\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = {3.2^x} \Leftrightarrow {{{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}^x}} \over {{2^x}}} + {{{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^x}} \over {{2^x}}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)^x} + {\left( {{{3 - \sqrt 5 } \over 2}} \right)^x} = 3.\)

Ta có \(\left( {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)\left( {{{3 - \sqrt 5 } \over 2}} \right) = {{{3^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \over 4} = 1 \Rightarrow {\left( {{{3 - \sqrt 5 } \over 2}} \right)^x} = {1 \over {{{\left( {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)}^x}}} = {\left( {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)^{ - x}}.\) khi đó phương trình tương đương với \({\left( {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)^x} + {\left( {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)^{ - x}} = 3.\)

Đặt \({\left( {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right)\), khi đó phương trình trở thành \(t + {1 \over t} = 3 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {t_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr   {t_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {\left( {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)^x} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr   {\left( {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)^x} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2} = {\left( {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)^{ - 1}} \hfill \cr}  \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{  {x_1} = 1 \hfill \cr   {x_2} =  - 1 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow {x_1}{x_2} =  - 1.\)

Chọn D.