Tìm tất cả các số tự nhiên \(k\) sao cho \(C_{14}^...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương pháp: Dãy \(a, b, c\) là 1 cấp số cộng \( \Leftrightarrow 2b = a + c\)

Cách giải

\(\begin{array}{l}2C_{14}^{k + 1} = C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} \Leftrightarrow \dfrac{{2.14!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}} = \dfrac{{14!}}{{k!\left( {14 - k} \right)!}} + \dfrac{{14!}}{{\left( {k + 2} \right)!\left( {12 - k} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {13 - k} \right)\left( {14 - k} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {k + 2} \right)\left( {14 - k} \right) = \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) + \left( {13 - k} \right)\left( {14 - k} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( { - {k^2} + 12k + 28} \right) = {k^2} + 3k + 2 + {k^2} - 27k + 182\\ \Leftrightarrow 4{k^2} - 48k + 128 = 0\\ \Leftrightarrow {k^2} - 12k + 32 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 4\\k = 8\end{array} \right.\end{array}\)

Cách giải nhanh: Lần lượt thay các đáp án A, B, C, D vào để kiểm tra

Chọn đáp án D