Cho \(P=\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2}+\frac{\sqrt{...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi để rút gọn phân thức.

+) Lập phương hai vế để rút gọn a.

+) Sau đó thay giá trị của a vào biểu thức đã rút gọn của P để tính giá trị của P.

Giải chi tiết:

a)     Điều kiện: \(a\ge 0,\ \ a\ne 4.\)

\(\begin{array}{l}
P = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 2}} + \frac{{5\sqrt a + 2}}{{4 - a}}\\
\;\;\; = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 2}} - \frac{{5\sqrt a + 2}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}\\
\;\;\; = \frac{{3a - 6\sqrt a + a + 3\sqrt a + 2 - 5\sqrt a - 2}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}\\
\;\;\; = \frac{{4a - 8\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}} = \frac{{4\sqrt a (\sqrt a - 2)}}{{(\sqrt a - 2)(\sqrt a + 2)}}\\
\;\;\; = \frac{{4\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}}.
\end{array}\)

b)     Khai triển ta được:

\(\begin{array}{l}
a = \sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} \Rightarrow {a^3} = {\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)^3}\\
\Rightarrow {a^3} = 2 + 3.\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right).\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}.\sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {84} }}{9}}}\\
\Rightarrow {a^3} = 2 + 3a.\sqrt[3]{{1 - \frac{{84}}{{81}}}} = 2 + 3a.\sqrt[3]{{\frac{{ - 1}}{{27}}}} = 2 - a\\
\Rightarrow {a^3} + a - 2 = 0 \Leftrightarrow (a - 1)({a^2} + a + 2) = 0 \Rightarrow a = 1
\end{array}\)

Thay vào biểu thức P ta được: \(P=\frac{4.1}{1+2}=\frac{4}{3}.\)

 Chọn A