Tìm các số tự nhiên \(n\) để \(A = {n^{2018}} + {n...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thử \(n = 0,\,\,n = 1\).

Với \(n > 1,\,\) chứng minh A chia hết cho \({n^2} + n + 1\).

Giải chi tiết:

Xét \(n = 0\) thì A = 1 không là số nguyên tố;

Xét \(n = 1\) thì A = 3 là số nguyên tố.

Xét n > 1, ta thấy A > n²+ n + 1;

 A = n²⁰¹⁸ – n² + n²⁰⁰⁸ – n + n²+ n + 1 = n²((n³)⁶⁷² – 1) + n.((n³)⁶⁶⁹ – 1) + (n² + n + 1)            

Mà (n³)⁶⁷² – 1 chia hết cho n³ -1, suy ra (n³)⁶⁷² – 1 chia hết cho n² + n + 1

(Vì \({n^3} - 1 = \left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right) \Rightarrow \left( {{n^3} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {{n^2} + n + 1} \right)\))

Tương tự:  (n³)⁶⁶⁹ – 1 chia hết cho n² + n + 1

Khi đó A chia hết cho n² + n + 1 > 1  và A > n² + n + 1

Vậy A là hợp số với mọi n > 1.

Tóm lại số tự nhiên cần tìm là n = 1.