Gọi (C) là đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3x+3\). Khẳ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các kiến thức về tâm đối xứng, sự tương giao và tiếp xúc để xác định tính đúng sai của mỗi đáp án.

+) Tâm đối xứng của hàm bậc ba \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\,\left( a\ne 0 \right)\) có hoành độ là nghiệm của phương trình \({{y}'}'=6ax+2b=0\).

+) Hai đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) tiếp xúc với nhau  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\)  có nghiệm.

+) Phương trình \(f\left( x \right)=g\left( x \right)\) có bao nhiêu nghiệm thì hai đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) cắt nhau tại bấy nhiêu điểm.

Giải chi tiết:

+ Ta có \({y}'=3{{x}^{2}}-3,{{y}'}'=6x\). Hoành độ của tâm đối xứng là nghiệm của phương trình \(6x=0\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y=3\). Vậy tâm đối xứng có tọa độ \(\left( 0;3 \right)\)\(\Rightarrow \) đáp án A đúng.

+) Xét hệ 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x + 3 = 5\\3{x^2} - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2}.x - 3x + 3 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\ - 2x + 3 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\x =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow x =  - 1\).

Nên \(y=5\)  tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho nên đáp án B đúng.

+) Xét phương trình tương giao của đồ thị hàm số với trục \(Ox\): \({{x}^{3}}-3x+3=0\) (1). Sử dụng máy tính bấm nghiệm phương trình bậc ba ta thấy phương trình (1) có duy nhất một nghiệm nên đồ thị hàm số đã chocắt trục  \(Ox\) tại một điểm duy nhất.

Nên đáp án C sai.

+) Đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) cắt trục tung tại một điểm duy nhất có \(x=0\Rightarrow y=3\) nên đáp án D đúng.

Chọn C.