Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      Thay \(m = 7\) và giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

b)      Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Giải chi tiết:

a)      Với \(m = 7\) ta có :

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - xy = 1\\4{x^2} + 4xy - {y^2} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2{x^2} - 1}}{x} = y\\4{x^2} + 4xy - {y^2} = 7\end{array} \right.\\ \Rightarrow 4{x^2} + 4x\frac{{2{x^2} - 1}}{x} - {\left( {\frac{{2{x^2} - 1}}{x}} \right)^2} = 7\\ \Leftrightarrow 4{x^4} + 4{x^2}.\left( {2{x^2} - 1} \right) - {\left( {2{x^2} - 1} \right)^2} = 7{x^2}\\ \Leftrightarrow 8{x^4} - 7{x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {8{x^2} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1.\end{array}\)

Với \(x = 1\) thay vào ta có \(y = 1\).

Với \(x =  - 1\) thay vào ta có \(y =  - 1\).

Vậy tập nghiệm (x ; y) của hệ đã cho là : \(\left( {1;1} \right);\,\,\left( {1; - 1} \right)\).

b)      Từ \(x = 0\) không thỏa mãn ta suy ra \(x \ne 0\).

Ta có \(y = \frac{{2{x^2} - 1}}{x}\), thế vào phương trình thứ hai ta có :

\(\begin{array}{l}4{x^2} + 4x\frac{{2{x^2} - 1}}{x} - {\left( {\frac{{2{x^2} - 1}}{x}} \right)^2} = m\\ \Leftrightarrow 4{x^4} + 4{x^2}\left( {2{x^2} - 1} \right) - {\left( {2{x^2} - 1} \right)^2} = m{x^2}.\\ \Leftrightarrow 8{x^4} - m{x^2} - 1 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow 8{t^2} - mt - 1 = 0.\)

Do \(ac = 8.\left( { - 1} \right) =  - 8 < 0\) do đó phương trình trên luôn có 2 nghiệm trái dấu, tức có nghiệm dương.

Vậy với mọi giá trị của m thì hệ đã cho luôn có nghiệm.