Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD\) . Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AC\\BD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)

Mà \(BD \cap \left( {SAC} \right) = O\) nên trong (SAC) kẻ \(OH \bot SC\)

Vì \(\left. \begin{array}{l}BD \bot \left( {SAC} \right)\\OH \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot OH\) \( \Rightarrow OH\)là đường vuông góc chung của SC và BD.

Ta có: \(\Delta COH\~\Delta CSA\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{SA}} = \dfrac{{OC}}{{SC}} \Rightarrow OH = \dfrac{{SA.OC}}{{SC}}\)

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên \(AC = a\sqrt 2  \Rightarrow OC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại A \( \Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow OH = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Vậy \(d\left( {SC;BD} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Chọn C.