Cho hình chóp đều \(S.ABC\), đường cao \(SH\). Kho...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

\(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow H\) là trọng tâm tam giác đều ABC

Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot CH \Rightarrow \Delta SCH\)vuông tại H \( \Rightarrow \widehat {SCH} < {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;HC} \right)} = \widehat {SCH} = {60^0}\)

Gọi I là trung điểm của AB

Trong (SIC) kẻ \(HK \bot SC\) ta có \(HK = 2\left( {cm} \right)\). Kẻ \(IE//HK\left( {E \in SC} \right)\)

Vì HK // IE \( \Rightarrow \dfrac{{HK}}{{IE}} = \dfrac{{HC}}{{IC}} = \dfrac{2}{3}\)\( \Rightarrow IE = \dfrac{3}{2}HK = 3\left( {cm} \right)\)

Vì \(IE//HK \Rightarrow IE \bot SC\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AB \bot CI\\AB \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow AB \bot \left( {SIC} \right) \Rightarrow AB \bot SC\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot \left( {ABE} \right)\)\( \Rightarrow SC \bot AE;SC \bot BE\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SC\\\left( {SAC} \right) \supset AE \bot SC\\\left( {SBC} \right) \supset BE \bot SC\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AE;BE} \right)}\)

Giả sử\(\widehat {\left( {AE;BE} \right)} = \widehat {AEB} = {60^0}\):

Dễ chứng minh được \(\Delta ACE = \Delta BCE\left( {c.g.c} \right)\)\( \Rightarrow AE = BE\)\( \Rightarrow \Delta EAB\) cân tại E

Mà \(\widehat {AEB} = {60^0} \Rightarrow \Delta EAB\) đều\( \Rightarrow BE = AB = BC\)

Mà \(SC \bot \left( {ABE} \right)\)\( \Rightarrow SC \bot BE \Rightarrow BE < BC\) (quan hệ đường vuông  góc và đường xiên)

\( \Rightarrow \widehat {AEB} = {120^0}\)

Suy ra trung tuyến IE đồng thời là đường phân giác \( \Rightarrow \widehat {AEI} = \widehat {BEI} = \dfrac{1}{2}\widehat {AEB} = {60^0}\)

\( \Rightarrow AI = IE.\tan 60 = 3.\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)\( \Rightarrow AB = 2AI = 6\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)

Tam giác ABC đều  \( \Rightarrow IC = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{6\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = 9\left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow HC = \dfrac{2}{3}IC = \dfrac{2}{3}.9 = 6\left( {cm} \right)\)

 Xét tam giác vuông SHC có: \(SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}}  = \sqrt {S{H^2} + 36} \)

\({S_{SIC}} = \dfrac{1}{2}SH.IC = \dfrac{1}{2}IE.SC\)\( \Rightarrow SH.9 = 3.\sqrt {S{H^2} + 36} \)

\( \Rightarrow 9S{H^2} = S{H^2} + 36\)\( \Rightarrow S{H^2} = \dfrac{9}{2} \Rightarrow SH = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

\({S_{ABC}} = \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 27\sqrt 3 \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}}\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}.27\sqrt 3  = \dfrac{{27\sqrt 6 }}{2}\left( {c{m^3}} \right)\)

Chọn A.