Cho hình chóp S. ABC có SB vuông góc với đáy, góc...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của BC và SC\( \Rightarrow OI\) là đường trung bình của tam giác SBC\( \Rightarrow OI//SB\)

Mà \(SB \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OI \bot \left( {ABC} \right)\)

Lại có tam giác ABC vuông tại A nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

\( \Rightarrow OI\) là trục của (ABC)\( \Rightarrow IA = IB = IC\)

Mà \(IC = IS \Rightarrow IS = IA = IB = IC \Rightarrow I\)là tâm khối cầu ngoại tiếp chóp S. ABC

\( \Rightarrow R = IS = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{2} \Rightarrow SC = 2IS = a\sqrt {15} \)

Vì \(SB \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BA\) là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;BA} \right)} = \widehat {SAB} = {60^0}\)

Đặt \(AB = AC = x \Rightarrow SB = AB. \tan 60 = x\sqrt 3 \)

Tam giác ABC vuông cân tại A\( \Rightarrow BC = AB\sqrt 2  = x\sqrt 2 \)

Xét tam giác vuông SBC có:

\(S{C^2} = S{B^2} + B{C^2} \Leftrightarrow 15{a^2} = 2{x^2} + 3{x^2} \Leftrightarrow 15{a^2} = 5{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 . \)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}A{B^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{2};\,\,\,SB = 3a \Rightarrow {V_{S. ABC}} = \dfrac{1}{3}SB. {S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}. 3a. \dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{3{a^3}}}{2}\)

Chọn D.