Cho cặp số \((x;y)\) là nghiệm của hệ phương trình...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp giải: Điều kiện \(x\ne 0;y\ne 0\)

Nhân phương trình (1) với \({{x}^{2}}\) và nhân phương trình (2) với \({{y}^{2}}\) sau đó trừ vế với vế của từng phương trình cho nhau để xuất hiện nhân tử chung \((x-y)\)

Sau khi tìm được nghiệm \((x;y)\) thay vào để tìm giá trị của \(A\)

Giải chi tiết:

Điều kiện \(x\ne 0;y\ne 0\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}3y = \frac{{{y^2} + 2}}{{{x^2}}}\\3x = \frac{{{x^2} + 2}}{{{y^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2}y = {y^2} + 2\\3x{y^2} = {x^2} + 2\end{array} \right.\)

Trừ vế với vế của từng phương trình với nhau, ta được:

\(3{x^2}y - 3x{y^2} = {y^2} - {x^2} \Leftrightarrow 3xy(x - y) + (x - y)(x + y) = 0 \Leftrightarrow (x - y)(3xy + x + y) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\3xy + x + y = 0\end{array} \right.\)

Nếu \(x=y\)  ta được phương trình:

\(3{x^3} = {x^2} + 2 \Leftrightarrow (x - 1)(3{x^2} + 2x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\3{x^2} + 2x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\)

(Do \(3{{x}^{2}}+2x+2=3{{\left( x+\frac{1}{3} \right)}^{2}}+\frac{5}{3}>0\))

\(\circ \) Nếu \(3xy+x+y=0\)

Theo bài ra, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}3y = \frac{{{y^2} + 2}}{{{x^2}}}\\3x = \frac{{{x^2} + 2}}{{{y^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow x > 0;y > 0 \Rightarrow 3xy + x + y > 0\)

\(\Rightarrow \) Trường hợp này vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(x=y=1\) hay \(A=2\)

Chọn D.