Giải phương trình:  \(3\sqrt {{x^2} + x + 1}  - x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có: Phương trình: \(3\sqrt {{x^2} + x + 1}  - x = {x^2} + 3 \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + x + 1}  = {x^2} + x + 3\)Đặt:\(t = {x^2} + x\), ta được phương trình:

 

\(\begin{array}{l}3\sqrt {t + 1} = t + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + 3 \ge 0\\{\left( {3\sqrt {t + 1} } \right)^2} = {\left( {t + 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge - 3\\9\left( {t + 1} \right) = {t^2} + 6t + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge - 3\\9t + 9 = {t^2} + 6t + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge - 3\\{t^2} - 3t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge - 3\\t\left( {t - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge - 3\\\left[ \begin{array}{l}t = 0\\t - 3 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge - 3\\\left[ \begin{array}{l}t = 0\left( n \right)\\t = 3\left( n \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Với t = 0, ta có:

\({x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\)

Với t = 3, ta có:

 

\(\begin{array}{l}{x^2} + x = 3 \Leftrightarrow {x^2} + x - 3 = 0\left( {a = 1;b = 1;c = - 3} \right)\\\Delta = {b^2} - 4ac = {1^1} - 4.1.( - 3) = 13 > 0\\\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2.a}} = \frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}\\{x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2.a}} = \frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Thử lại các kết quả vừa tìm được, ta thấy đều thỏa mãn phương trình.

(Ví dụ các em thử x = 0 vào phương trình: \(3\sqrt {{0^2} + 0 + 1}  - 0 = {0^2} + {3^{}}{ \Leftrightarrow ^{}}3 = 3\) (luôn đúng))

Vậy nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ { - 1{;^{}}0{;^{}}\dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}{,^{}}\dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}} \right\}\)