Cho \(P=\frac{2{{a}^{2}}+a-1}{{{a}^{2}}-a+1}\) Khi...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức đã cho thành phương trình bậc hai với ẩn \(a\) và tham số \(P\).

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm, từ đó suy ra GTLN, GTNN của \(P\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta có : \(P=\frac{2{{a}^{2}}+a-1}{{{a}^{2}}-a+1}\Leftrightarrow P\left( {{a}^{2}}-a+1 \right)=2{{a}^{2}}+a-1\Leftrightarrow \left( P-2 \right){{a}^{2}}-\left( P+1 \right)a+\left( P+1 \right)=0\,\,\left( 1 \right).\)

\(P\) đạt được GTLN, GTNN thì phải tồn tại \(a\) hay \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.

Trường hợp 1. Với \(P=2\) thì \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-3a+3=0\Leftrightarrow a=1.\)

Trường hợp 2. Khi \(P\ne 0.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {P + 1} \right)^2} - 4\left( {P - 2} \right)\left( {P + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {{P^2} + 2P + 1} \right) - 4\left( {{P^2} - P - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow - 3{P^2} + 6P + 9 \ge 0\\ \Leftrightarrow 3{P^2} - 6P - 9 \le 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 2P - 3 \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {P + 1} \right)\left( {P - 3} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le P \le 3.\end{array}\)

Với \(P=-1.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(3{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow a=0.\)

Với \(P=3.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({{a}^{2}}-4a+4=0\Leftrightarrow a=2.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(3\) đạt được tại \(a=2,\)  giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(-1\) đạt được tại \(a=0.\)

Chọn đáp án A.