Cho \(P=\frac{2a-1}{{{a}^{2}}+2}\) Khi đó giá trị...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Tìm GTLN, GTNN của P bằng cách tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn a với tham số P có nghiệm.

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta có \(P=\frac{2a-1}{{{a}^{2}}+2}\Leftrightarrow P\left( {{a}^{2}}+2 \right)=2a-1\Leftrightarrow P{{a}^{2}}-2a+2P+1=0\,\,\,\left( 1 \right).\)

\(P\) thỏa mãn \(P=\frac{2a-1}{{{a}^{2}}+2}\) khi và chỉ khi \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.

Trường hợp 1. \(P=0\) khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-2a+1=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}.\)

Trường hợp 2. \(P\ne 0.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {1^2} - P\left( {2P + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - 2{P^2} - P \ge 0 \Leftrightarrow 2{P^2} + P - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {P + 1} \right)\left( {2P - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left( {P + 1} \right)\left( {P - \frac{1}{2}} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}P - \frac{1}{2} \le 0\\P + 1 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}P - \frac{1}{2} \ge 0\\P + 1 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}P \le \frac{1}{2}\\P \ge - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}P \ge \frac{1}{2}\\P \le - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le P \le \frac{1}{2}.\end{array}\)

Với \(P=-1.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-1{{a}^{2}}-2a+\left( 2.\left( -1 \right)+1 \right)=0\Leftrightarrow -{{a}^{2}}-2a-1=0\Leftrightarrow a=-1.\)

Với \(P=\frac{1}{2}.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\frac{1}{2}.{{a}^{2}}-2a+\left( 2.\frac{1}{2}+1 \right)=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4a+4=0\Leftrightarrow a=2.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\frac{1}{2}\) đạt được tại \(a=2,\) giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(-1\) đạt được tại \(a=-1.\)

Chọn đáp án B.