Phương trình \(2{{\log }_{3}}\left( \cot x \right)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(2{{\log }_{3}}\left( \cot x \right)={{\log }_{2}}\left( \cos x \right)=t\Rightarrow \left\{ \begin{align}  \cot x={{3}^{\frac{t}{2}}} \\  \cos x={{2}^{t}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \sin x=\frac{{{2}^{t}}}{{{3}^{\frac{t}{2}}}}={{\left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)}^{t}}\)

Sử dụng tính chất \({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1\)

Giải chi tiết:

\(DK:\left\{ \begin{array}{l}\cot x > 0\\\cos x > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x > 0\\\sin x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\)

Đặt \(2{{\log }_{3}}\left( \cot x \right)={{\log }_{2}}\left( \cos x \right)=t\Rightarrow \left\{ \begin{align}  \cot x={{3}^{\frac{t}{2}}} \\  \cos x={{2}^{t}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \sin x=\frac{{{2}^{t}}}{{{3}^{\frac{t}{2}}}}={{\left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)}^{t}}\)

Ta có \({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{4}{3} \right)}^{t}}+{{4}^{t}}=1\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{t}}+{{4}^{t}}\) có \(f'\left( t \right)={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{t}}\ln \frac{4}{3}+{{4}^{t}}\ln 4>0\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên R.

\(f\left( t \right)=1=f\left( -1 \right)\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow \cos x=\frac{1}{2}\,\,\left( tm \right)\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \,\,\left( k\in Z \right)\)

Kết hợp điều kiện \(\sin x>0\) ta có \(x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \,\,\left( k\in Z \right)\)

\(\frac{\pi }{3}+k2\pi \in \left( 0;2018\pi  \right)\Rightarrow 0\le \frac{\pi }{3}+k2\pi \le 2018\pi \Leftrightarrow -\frac{1}{6}\le k\le \frac{6053}{6}\overset{k\in Z}{\mathop{\Rightarrow }}\,k\in \left\{ 0;1;2;3;...;1008 \right\}\)

Vậy có 1009 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.