Cho \((P):y={{x}^{2}}\)và \((d):y=(2m-1)x-m+1\). T...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Vi – ét ; \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của(d) và (P). Biến đổi biểu thức từ yêu cầu đề bài để xuất hiện \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}\) . Sau đó biện luận, tìm giá trị của m.

Giải chi tiết:

\(A({{x}_{1}};{{y}_{1}});B({{x}_{2}};{{y}_{2}})\) thỏa mãn \(T=x_{1}^{2}\left( 1-x_{2}^{2} \right)+x_{2}^{2}\left( 1-4x_{1}^{2} \right)\) lớn nhất.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) :

\(\begin{align}  & {{x}^{2}}=(2m-1)x-m+1 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-(2m-1)x+m-1=0(*) \\\end{align}\)

(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow (*)\)có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow \Delta >0 \\ & \Leftrightarrow {{(2m-1)}^{2}}-4(m-1)>0 \\& \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m+1-4m+4>0 \\ & \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m+4+1>0 \\ & \Leftrightarrow {{(2m-2)}^{2}}+1>0\,\,\forall m \\\end{align}\)

Áp dụng hệ thức Vi- et ta có \(\left\{ \begin{matrix}  {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-1\,\,\,\,\,(1)  \\   {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m-1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)  \\\end{matrix} \right.\)

Ta có

\(\begin{align}  & A=x_{1}^{2}\left( 1-x_{2}^{2} \right)+x_{2}^{2}\left( 1-4x_{1}^{2} \right) \\ & \,\,\,\,\,\,=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-5x_{1}^{2}x_{2}^{2} \\ & \,\,\,\,\,\,={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-5{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}\begin{matrix}   {} & (3)  \\\end{matrix} \\\end{align}\)

Thay (1) và (2) vào (3) ta có:

\(\begin{align}  & T={{(2m-1)}^{2}}-5{{(m-1)}^{2}}-2(m-1) \\ & \,\,\,\,\,=4{{m}^{2}}-4m+1-5{{m}^{2}}+10m-5-2m+2 \\ & \,\,\,\,\,=-{{m}^{2}}+4m-2 \\ & \,\,\,\,\,=2-({{m}^{2}}-4m+4) \\ & \,\,\,\,\,=2-{{(m-2)}^{2}}\le 2\,\,\forall \,\,m \\ & \Rightarrow Max\,T=2\Leftrightarrow m-2=0\Leftrightarrow m=2. \\\end{align}\)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Chọn D.