Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và dây cun...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính diện tích tứ giác \(ABOC\) và diện tích hình quạt \(OBC\).

Diện tích cần tính bằng hiệu hai phần diện tích trên.

Giải chi tiết:

Gọi \(S\) là phần diện tích cần tìm. \({S_1}\) là diện tích của \(ABOC,\,{S_2}\) là diện tích của quạt \(OBC.\)

Do \(BC = OC = OB = R\) nên \(\Delta BOC\) là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat {BOC} = {60^0}.\)

Vì vậy \({S_2} = \frac{{\pi {R^2}}}{{360}}.60 = \frac{{\pi {R^2}}}{6}.\)

Nối \(A\) với \(O \Rightarrow OA\) là phân giác của góc \(\widehat {BOC} \Rightarrow \widehat {AOC} = {30^0}.\)

Ta có \(\cos \,\widehat {AOC} = \frac{{CỔ}}{{ÁO}} \Rightarrow ÁO = \frac{{CÓ}}{{\cos \,\widehat {AOC}}} = \frac{{CÓ}}{{\cos \,{{30}^0}}} = \frac{{2CO}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}.\)

Ta cũng có \(AO \bot BC\) nên \({S_1} = \frac{1}{2}AO.BC = \frac{1}{2}.\frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}.R = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{3}.\)

Vậy \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\pi {R^2}}}{6} = \frac{{{R^2}\left( {2\sqrt 3  - \pi } \right)}}{6}.\)

Chọn đáp án C.