Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số\(y...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

\(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (m + 2)x \Rightarrow y' = {x^2} - 2mx + (m + 2)\)

Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 1\end{array} \right.\)

Khi đó, do \(a = \dfrac{1}{3} > 0\) nên hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (m + 2)x\) có cực trị và giá trị của hàm số tại các điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dương \( \Leftrightarrow \)Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất là \(x = 0\) (1) và hai cực trị \({x_1},{x_2}\)\(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thỏa mãn: \(0 < {x_1} < {x_2}\) (2)

Ta có: (1) \( \Leftrightarrow \)\(\dfrac{1}{3}{x^2} - mx + (m + 2) = 0\) hoặc là vô nghiệm hoặc là có nghiệm kép \(x = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta  < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\\dfrac{1}{3}.0 - m.0 + m + 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - \dfrac{4}{3}m - \dfrac{8}{3} < 0\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - \dfrac{4}{3}m - \dfrac{8}{3} = 0\\\dfrac{1}{3}.0 - m.0 + m + 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{2 - 2\sqrt 7 }}{3} < m < \dfrac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}\\\left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{2 \pm 2\sqrt 7 }}{3}\\m =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{2 - 2\sqrt 7 }}{3} < m < \dfrac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có: \(m \in \left( {\dfrac{{2 - 2\sqrt 7 }}{3}; - 1} \right) \cup \left( {2;\dfrac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}} \right)\)

Chọn: A