Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begi...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đổi biến tính từng tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} \) và \(\int\limits_0^1 {f\left( {3 - 2x} \right)dx} \). Chú ý điều kiện của \(x\) để chọn hàm thích hợp tính tích phân.

Giải chi tiết:

\(I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx}  + 3\int\limits_0^1 {f\left( {3 - 2x} \right)dx} \)

+) Tính \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} \)

Đặt \(\sin x = t \Rightarrow \cos xdx = dt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\) .

Do đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx}  = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^1 {\left( {5 - t} \right)dt}  = \left. {\left( {5t - \dfrac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{9}{2}\)

+) Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( {3 - 2x} \right)dx} \)

Đặt \(t = 3 - 2x \Rightarrow dt =  - 2dx \Rightarrow dx = \dfrac{{ - dt}}{2}\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 3\\x = 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Do đó \(\int\limits_0^1 {f\left( {3 - 2x} \right)dx}  = \int\limits_3^1 {f\left( t \right).\dfrac{{ - dt}}{2}}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^3 {\left( {{x^2} + 3} \right)dt}  = \dfrac{1}{2}\left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + 3x} \right)} \right|_1^3 = \dfrac{{22}}{3}\)

Vậy \(I = 2.\dfrac{9}{2} + 3.\dfrac{{22}}{3} = 31\).

Chọn B.