Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (GIJ), sau đó, tính diện tích của thiết diện.

Giải chi tiết:

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, BC.

Gọi \(E = AD \cap JP,\,\,F = AB \cap JP\), \(Q = EI \cap SD\),  \(H = SA \cap IE\), \(K = SB \cap GF\).

Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (GIJ) là ngũ giác HKPJQ.

Dễ dàng chỉ ra rằng: \(AN = ND = DE\),

\(AM = MB = BF\), \(EJ = JP = PF\)

Ta có \(\Delta HAE = \Delta HAF\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow HE = HF \Rightarrow \Delta HEF\) cân tại H.

Gọi L là giao điểm của JP và AC ta có \(\left\{ \begin{array}{l}JP \bot AC\\JP \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow JP \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow JP \bot HL\).

\( \Rightarrow L\) là trung điểm của EF, \(EF = 3JP = \frac{3}{2}BD = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\)  và \({S_{HEF}} = \frac{1}{2}HL.EF\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SAN có: \(\frac{{HS}}{{HA}}.\frac{{EA}}{{EN}}.\frac{{IN}}{{IS}} = 1 \Rightarrow \frac{{HS}}{{HA}}.\frac{3}{2}.\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{{HS}}{{HA}} = \frac{4}{3} \Rightarrow HA = \frac{3}{7}SA = 3a\)

Ta có \(AL = \frac{3}{4}AC = \frac{3}{4}a\sqrt 2 \)

Xét tam giác vuông HAL có \(HL = \sqrt {A{L^2} + A{H^2}}  = \frac{{9a\sqrt 2 }}{4}\).

 \( \Rightarrow {S_{HEF}} = \frac{1}{2}HL.EF = \frac{1}{2}.\frac{{9a\sqrt 2 }}{4}.\frac{{3a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{27{a^2}}}{8}\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SND có: \(\frac{{IS}}{{IN}}.\frac{{EN}}{{ED}}.\frac{{QD}}{{QS}} = 1 \Rightarrow 2.2.\frac{{QD}}{{QS}} = 1 \Rightarrow \frac{{QD}}{{QS}} = \frac{1}{4}\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác EAH có: \(\frac{{SH}}{{SA}}.\frac{{DA}}{{DE}}.\frac{{QE}}{{QH}} = 1 \Rightarrow \frac{4}{7}.2.\frac{{QE}}{{QH}} = 1 \Rightarrow \frac{{QE}}{{QH}} = \frac{7}{8} \Rightarrow \frac{{EQ}}{{EH}} = \frac{7}{{15}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{S_{QEJ}}}}{{{S_{HEF}}}} = \frac{{QE}}{{QH}}.\frac{{EJ}}{{EF}} = \frac{7}{{15}}.\frac{1}{3} = \frac{7}{{45}} \Rightarrow {S_{QEJ}} = \frac{7}{{45}}{S_{HEF}} = {S_{KPF}}\\ \Rightarrow {S_{HQJPK}} = \frac{{31}}{{45}}{S_{HEF}} = \frac{{31}}{{45}}.\frac{{27{a^2}}}{8} = \frac{{93}}{{40}}{a^2}\end{array}\)

Chọn: A