Cho hình chóp \(S.ABC\), trong đó \(SA=3,SB=4,\,\,...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa Oxyz và sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Giải chi tiết:

Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác \(SAB,\) có \(AB=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}-2.SA.SB.\cos \widehat{ASB}}=\sqrt{13}.\)

Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác \(SBC,\) có \(BC=\sqrt{S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}-2.SB.SC.\cos \widehat{BSC}}=\sqrt{61}.\)

Gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, với \(S\left( 0;0;0 \right),\,\,A\left( 3;0;0 \right),\,\,B\left( a;b;c \right),\,\,C\left( 0;5;0 \right).\)

Có \(\left\{ \begin{array}{l}S{B^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 16\\A{B^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = 13\\B{C^2} = {a^2} + {\left( {b - 5} \right)^2} + {c^2} = 61\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - \,2\\c = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2; - \,2;2\sqrt 2 } \right).\)

Đường thẳng \(SC\) đi qua \(S\left( 0;0;0 \right)\) và \({{\vec{u}}_{1}}=\overrightarrow{SC}=\left( 0;5;0 \right).\)

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( 3;0;0 \right)\) và \({{\vec{u}}_{2}}=\overrightarrow{AB}=\left( -\,1;-\,2;2\sqrt{2} \right).\)

Có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&0\\2&{2\sqrt 2 }\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\{2\sqrt 2 }&{ - 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&5\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( {10\sqrt 2 ;\;0;\;5} \right).\)

Khi đó \(d\left( SC;AB \right)=\frac{\left| \overrightarrow{SA}.\left( {{{\vec{u}}}_{1}};{{{\vec{u}}}_{2}} \right) \right|}{\left| \left( {{{\vec{u}}}_{1}};{{{\vec{u}}}_{2}} \right) \right|}=\frac{30\sqrt{2}}{15}=2\sqrt{2}.\)

Chọn B