Cho hình thang cân ABCD, biết \(CD = 3AB...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).

Giải chi tiết:

\( + )\,\,\overrightarrow {AH} .\left( {2\overrightarrow {AD}  - 3\overrightarrow {CD} } \right) = 2\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AD}  - 3\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {CD}  = 2AH.AD.\cos \widehat {HAD}\).

Ta có: \(\Delta AHD\) có \(\widehat {ADH} = {45^0} \Rightarrow \Delta AHD\) vuông cân tại H.

Ta có: \(HD = \dfrac{{3a - a}}{2} = a = AH \Rightarrow AD = a\sqrt 2 \) và \(\widehat {HAD} = {45^0}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} \left( {2\overrightarrow {AD}  - 3\overrightarrow {CD} } \right) = 2.a.a\sqrt 2 .\cos {45^0} = 2{a^2}\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 2{a^2}\)

\(\begin{array}{l} + )\,\,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BH}  = \left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HC} } \right)\left( {\overrightarrow {AH}  - \overrightarrow {AB} } \right) = A{H^2} - \underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH} }_0 + \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HC} }_0 - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} \\ = A{H^2} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC}  = A{B^2} - AB.HC.\cos 0 = A{B^2} - AB.HC\\ = {a^2} - a.2a =  - {a^2}\end{array}\)