Một nghiệm của phương trình lượng giác: \({\sin ^2...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hạ bậc \({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x = 2\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{{1 - \cos 6x}}{2} = 2\\ \Leftrightarrow 3 - \left( {\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x =  - 1\\ \Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x =  - 1\\ \Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\cos 2x + 1} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow \left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right)\left( {2\cos 2x + 1} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^3}2x + 2{\cos ^2}2x - 2\cos 2x - 1 =  - 1\\ \Leftrightarrow 2\cos 2x\left( {2{{\cos }^2}2x + \cos 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\2{\cos ^2}2x + \cos 2x - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos 2x =  - 1\\\cos 2x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\2x = \pi  + k2\pi \\2x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x =  \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy một nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi }{6}\).

Chọn C.