Cho khai triển \({\left( {x + 2} \right)^n}\). Tìm...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}},\,\,C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}},\,\,\,\left( {k,n \in N;\,\,k \le n} \right)\)

Áp dụng Công thức khai triển nhị thức Newton: \({(x + y)^n} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{x^i}.{y^{n - i}}} \) .

Giải chi tiết:

Ta có: \(2C_n^2 + 3A_n^2 - 360 = 0,\,\,\left( {n \in N,n \ge 2} \right)\,\, \Leftrightarrow 2.\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} + 3.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 360 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) + 3n\left( {n - 1} \right) - 360 = 0\\ \Leftrightarrow 4n\left( {n - 1} \right) - 360 = 0 \Leftrightarrow {n^2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 10\\n =  - 9\,(L)\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó, \({\left( {x + 2} \right)^n} = {\left( {x + 2} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^k}{2^{10 - k}}} \)

Số hạng chứa \({x^6}\) trong khai triển ứng với \(k = 6\) và bằng \(C_{10}^6{x^6}{2^4} = \)\(3360{x^6}\).

Chọn: B