Cho phương trình \({x^2} - x + 3m - 11 = 0\,\,\lef...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Phương trình (1) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  = 0\), khi đó phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}}\).

b) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\Delta  > 0\) và sử dụng định lí Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Giải chi tiết:

a) Phương trình (1) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  = 1 - 4\left( {3m - 11} \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 12m + 44 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{15}}{4}\).

Khi đó phương trình trở thành \({x^2} - x + \dfrac{1}{4} = 0\) có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{1}{2}\).
Vậy với \(m = \dfrac{{15}}{4}\) thì phương trình (1) có nghiệm kép. Và nghiệm kép của phương trình là : \({x_1} = {x_2} = \dfrac{1}{2}\)

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{{15}}{4}\).

Gọi hai nghiệm phân biệt của phương trình là \({x_1};{x_2}\), theo định lí Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = 3m - 11\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Theo giải thiết ta lại có \(2017{x_1} + 2018{x_2} = 2019\), kết hợp \(\left( 2 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\2017{x_1} + 2018{x_2} = 2019\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 1 - {x_2}\\2017\left( {1 - {x_2}} \right) + 2018{x_2} = 2019\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 1 - {x_2}\\{x_2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} =  - 1\\{x_2} = 2\end{array} \right.\)

Thay vào (3) ta có \( - 2 = 3m - 11 \Leftrightarrow m = 3\,\,\left( {tm} \right)\).

Thử lại : Với m = 3  thì ta có phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy \(m = 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.