Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(A...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Tứ giác có hai góc đối phụ nhau là tứ giác nội tiếp

2) +) Chứng minh \(\angle CHK = \angle CDE\)mà 2 góc này ở vị trí đối đỉnh nên \(KH//ED\)

+) Chứng minh AK  vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của \(\Delta AFC\) từ đó suy ra \(\Delta AFC\) cân

3) Gọi Kẻ \(AJ \bot FD\) chứng minh J  là trung điểm của FD từ đó tính \({S_{\Delta ADF}}\) theo AJ và JD. Sử dụng BĐT Cô-si và định lý Pi-ta-go để tìm giá trị lớn nhất của \({S_{\Delta ADF}}\)  

Giải chi tiết:

1) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp

Xét \(\left( O \right)\) có \(CH \bot AB\,\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle CHA = {90^o}\) 

                  \(CK \bot AK\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AKC = {90^o}\) 

Xét tứ giác AHCK có \(\angle CHA + \angle CKA = {90^o} + {90^o} = {180^o}\)

Mà hai góc này là hai góc đối nhau của tứ giác.

\( \Rightarrow \) AHCK là tứ giác nội tiếp (dhnb)

2) Chứng minh KH song song với ED và tam giác ACF là tam giác cân

+) Chứng minh \(KH//ED\)

Xét \(\left( O \right)\) có \(\angle CDE = \angle CAE\) (cùng chắn cung EC)

Xét tứ giác nội tiếp AHCK có \(\angle CAK = \angle CHK\) (tc)

\( \Rightarrow \angle CHK = \angle CDE\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị

\( \Rightarrow KH//ED\) (dhnb)

+) Chứng minh \(\Delta AFC\) cân

Xét \(\left( O \right)\) có \(CH \bot AB\)  (gt)

Mà AB là đường kính

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của CD (tc)

Xét \(\Delta CDF\) có: H là trung điểm của CD và \(KH//DF\)

Theo hệ quả định lý về đường trung bình trong tam giác CDF

\( \Rightarrow \)K là trung điểm của FC

 Xét \(\Delta AFC\) có: \(\angle AKC = {90^o}\) (cmt) \( \Rightarrow AK \bot CF\)

\( \Rightarrow \) AK là đường cao của \(\Delta AFC\)

Mà K là trung điểm của FC (cmt) \( \Rightarrow \) AK là trung tuyến của \(\Delta AFC\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta AFC\) cân tại A  (dhnb)

3) Tìm vị trí của điểm E để diện tích tam giác ADF lớn nhất

Xét \(\left( O \right)\) có \(AB \bot CD\)  (gt)

\( \Rightarrow AC = AD\) (tc)

Mà \(AC = AF\) (\(\Delta AFC\) cân tại A)

\( \Rightarrow AD = AF \Rightarrow \) \(\Delta AFD\) cân tại A (dhnb)

Kẻ \(AJ \bot FD \Rightarrow \) J là trung điểm của FD

Dễ dàng chứng minh \(\Delta AJF = \Delta AJD\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta AJF}} = {S_{\Delta AJD}} \Rightarrow {S_{\Delta AFD}} = 2{S_{\Delta AJD}}\)

Xét \(\Delta AJD\) có: \({S_{\Delta AJD}} = \frac{{AJ.JD}}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho AJ và JD ta có:

\(A{J^2} + J{D^2} \ge 2AJ.JD \Rightarrow AJ.JD \le \frac{{A{J^2} + J{D^2}}}{2} = \frac{{A{D^2}}}{2} \Rightarrow \frac{{AJ.JD}}{2} \le \frac{{A{D^2}}}{4}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow AJ = JD\) hay \(\Delta AJD\) vuông cân \( \Rightarrow \angle ADJ = \angle ADE = {45^o}\)

Vậy diện tích tam giác ADF lớn nhất khi điểm E nằm vị trí sao cho \(\angle ADE = {45^o}\)